Una historia muy curiosa…
“Los conceptos y principios fundamentales de la ciencia son invenciones libres del espíritu humano.”
Saludos de nuevo.
Hoy voy a hablaros de una historia que duró casi 4000 años, y que para nuestra desgracia no tuvo un final tan deseable como el que suelen tener las películas. Voy a hablaros de la historia de las ecuaciones… Todos conocemos la fórmula de la resolución de una ecuación de segundo grado, es la primera fórmula que te enseñan (y seguramente la única) para resolver las ecuaciones. Todos hemos aprobado algún examen gracias a esa fórmula, y todos nos hemos equivocado al aplicarla alguna vez (aunque sólo sea por el mero hecho de haberla aplicado tantísimas veces), pero hay dos cosas de esta fórmula que no sabe todo el mundo:
- No se puede aplicar siempre.
- ¿Sabéis de dónde sale esta fórmula?
Igual es una deformación profesional por eso de ser un proyecto de matemático, pero yo, cuando veo una fórmula siempre intento resolver las dos cuestiones anteriores… Pero este no es el tema central de la entrada, y empecemos con la historia…. Las primeras apariciones en textos antiguos de “ecuaciones” datan del 1800 al 1600 a.C. en Mesopotamia, y traen algunos métodos para resolver ecuaciones lineales, aun que claro, la notación y forma de resolución de antaño dista una infinidad de la que nosotros poseemos actualmente. Habrían de pasar unos cuantos años, hasta el 1650 a. C. , que es la fecha de la que data el Papiro de Rindh, escrito en Egipto. En este texto casi puramente matemático se muestra un método de resolución general de ecuaciones de primer grado. La humanidad acaba de dar un paso, el primero, para dar la solución general de una ecuación para cualquier grado. Este papiro muestra además que los egipcios podía resolver cierto tipo de ecuaciones de segundo grado, aunque aun desconocían un método general de resolución, que será el siguiente paso de nuestra historia.
Pasarían nada menos que 1500 años, hasta que un griego, Diofanto de Alejandría, diera con la fórmula que resuelve casi todas las ecuaciones de segundo grado, la fórmula que aparece en la primera imagen de esta entrada. El segundo paso estaba logrado, se habían resuelto “todas” las ecuaciones de primer y segundo grado. Y en este momento de nuestra historia surge una pregunta, ¿Se podrán resolver todas las ecuaciones para cualquier grado? Pero vamos a intentar ir por pasos, después del segundo grado, viene el tercer grado…
Pero de nuevo habrían de pasar muchos años, otros 1700 aproximadamente, hasta que un matemático Italiano llamado Niccolo Fontana (Tartaglia para los amigos). Este matemático demostró dos cosas:
- Dada una ecuación de tercer grado, x3 + bx2 + cx + d = 0, haciendo el cambio de variable, x = t – b/3, se reduce a una ecuación del tipo x3 + px = q. En la que ha desaparecido el término de segundo grado.
- Encontró y demostró la fórmula general para la resolución de ecuaciones del tipo x3 + px = q
De este modo y con estas dos aportaciones, Tartaglia, 1700 años después de la demostración del método general para la resolución de ecuaciones de segundo grado, había dado el siguiente paso en la resolución de las ecuaciones de grado arbitrario. La humanidad ya sabía resolver una ecuación cualquiera hasta tercer grado.
Pero aún quedaban unos cuantos grados…Poco despues de la resolución de la ecuación de tercer grado por Tartaglia, otro matemático Italiano, Cardano , dio la solución general para una ecuación de 4 grado cualquiera. Parecía que la cosa avanzaba ahora a pasos agigantados y desmesuradamente rápidos, en poco más de 10 años, se habían dado dos pasos, mientras que los dos pasos anteriores habían costado más de 3000 años.
Pero poco duró el entusiasmo,pues en 1824 enunciaría y demostraría un Teorema que le haría pasar a la historia de las Matemáticas. Este teorema dice que no existe fórmula general para la resolución de ecuaciones de grado mayor o igual a 5. Hay que aclarar que el teorema no afirma que las ecuaciones polinómicas de grado quinto o superior no tengan soluciones o que no puedan ser resueltas,el teorema afirma que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los coeficientes y usando solo finitamente las operaciones de suma, multiplicación,y toma de radicales.
Y fue entonces cuando llegó Galois, un matemático Francés que vivió apenas 21 años y en ese tiempo fue capaz de dejar una teoría que marcaría los comienzos del álgebra moderna. Galois escribo una teoría, que por su complejidad en la época sería rechazada por matemáticos de prestigio como Furier o Lagrange. Y que trata de responder a la pregunta, ¿qué ecuaciones son resolubles usando únicamente los coeficientes de forma finita en operaciones de suma, multiplicación,y toma de radicales?
Pues creando nada más y nada menos que la Teoría de Grupos y ampliando en gran medida la Teoría de Cuerpos,dice lo siguiente: “Una ecuación es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois asociado es resoluble”
Esto sonará a chino a la mayoría de la gente, pero fué un avance importantísmo en las matemáticas, y una forma de saber si una ecuación se puede “resolver” o hay que recurrir a métodos numéricos… Las aplicaciones de la Teoría de Galois sobrepasan con mucho sus objetivos iniciales, y la base que sentó acerca de la Teoría de Grupos hizo posible el avance del álgebra hasta el punto en el que hoy se encuentra.
Después de casi 4000 años, el problema había sido resuelto, aunque ni mucho menos de la manera en la que se deseaba en un inicio, pues no se encontró la fórmula deseada…
Via | …¿Donde hay matematicas?…
Se usa la fórmula indicada y no otra similar, en la que el divisor es directamente (n-k)!, ya que esta segunda forma implicaría duplicar valores. La combinación (2,3) y la combinación (3,2), para este caso, resultan iguales, al buscar si hay factor común entre dos números porque no depende del orden. Si aplicáramos esa forma, el resultado sería 20 (120/6) y no 10. La fórmula indicada, entonces, no incluye estas duplicaciones).
